期待値と確率のはなし。単純計算で最良の選択を

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突然ですが、質問です。あるコインゲームがありました。コインゲームに参加し、コインを振って表がでれば100万GET裏がでれば50万円失います。また、コインゲームに参加しない場合は無条件で20万円GETできます。あなたはこのコインゲームに参加しますか?それとも参加せずに20万円をもらいますか?

 

有名なコインゲームの話ですが、多くの人は参加せずに無条件で20万円もらえる選択肢を選びます。

ただ、期待値でみるとその選択肢は不正解なんです。

期待値とは

確率論において、確率変数の期待値(きたいち、英: expected value)とは、確率変数のすべての値に確率の重みをつけた加重平均である。確率分布に対して定義する場合は「平均」と呼ばれることが多い。

期待値 - Wikipedia

 

簡単にいうと投資した事に対して、どれだけの見返りがあるのかを確率的に数値化した平均値です。

 

期待値の簡単な計算方法:もらえる金額 × もらえる確率

 

たとえば

  • 100 円支払えば、6 面サイコロ 1 個を 1 回振ることができる。
  • サイコロの出た目に応じて次の金額 X 円がもらえる。

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このとき、もらえる金額 X の期待値は

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となり、参加費 100 円より少ない。このことから、このゲームは平均的には1回あたり5円の損をし、回数を繰り返すほど損をするといえる(大数の法則)。

期待値 - Wikipedia

コインゲームの続き

この記事の導入部分で記載したコインゲームの続きです。

 

コインゲームに参加し、コインを振って表がでれば100万GET裏がでれば50万円失います。また、コインゲームに参加しない場合は無条件で20万円GETできます。あなたはコインゲームに参加しますか?それとも参加せずに20万円をもらいますか?

 

期待値でみると、無条件で20万円をGETするほうを選ぶよりもコインゲームに参加したほうが正解なんです。

 

では、この期待値を計算してみましょう。 

コインゲームに参加する場合の期待値

(+100万円 × 0.5) + (-50万円 × 0.5) = 25万円

 

コインゲームに参加しない場合の期待値

20万円

 

よって、このコインゲームに参加したほうが期待値としては正解なんです。

コインゲームの続き②

期待値が高いから、コインゲームに参加したが、裏が出てしまった。

なんと、50万円損失…

 

どうしようかと悩んでいる時にさっきのコインゲームのディーラーが赤が出る(出現率30%)と100万円GET黒が出る(出現率70%)と30万円失うルーレットをしないか?参加せずに帰るなら今日は来てくれたし、10万円返すよ。と話しかけてきました。あなたはこのルーレットに参加しますか?

 

さきほどのコインゲームと違って、このルーレットには参加する人が多いのではないでしょうか?これは50万円という大きな損失があるという前提条件に影響されているのです。

 

参加する前に期待値を計算してみましょう。

ルーレットに参加する場合の期待値

(+100万円 × 0.3) + (-30万円 × 0.7) = 9万円

 

ルーレットに参加しない場合の期待値

10万円

 

このルーレットには参加しないほうが期待値的には正解です。

 

前提条件があるがためにたとえ10万円を貰っても焼け石に水ということで一か八かでルーレットに参加する人が多くなります。

カジノやパチンコ等、ギャンブル要素があるもので一か八かで勝負すると破産してしまいます。カジノやパチンコを経営している店はもちろん期待値を計算して、儲けが出るように設定をしていますので利用する人は基本的に期待値が低い状態で勝負しないといけません。

 

おまけ:【確率】相手の血液型を当てる時

日本人の血液型はすべて同じ割合で存在しません。A型が一番多く、AB型が一番少ない割合となっています。

A型:40% O型:30% B型:20% AB型:10%

なので、とりあえず血液型を当てる場合はA型と言っておきましょうと言いたいところですが、工夫が必要です。

 

一番初めにA型と聞くのではなく、一番初めにAB型ではないですよね?2回目にB型でもないですよね?と聞いてから最後にA型ですよね?と入ると血液型が当たる確率が高く、3回連続で当てられたという感触を相手に持たせることができます。

 

1回目:AB型ではないですよね? ➡ 90%〇

2回目:B型でもないですよね? ➡ 70%〇

3回目:A型ですよね?

 

期待値と確率については物事を判断するうえで最良の選択をすることができます。

今回の記事は以下の本を参考にさせていただきました。実例が多く、とてもためになるのでぜひ読んでみてください。

眠れなくなるほど面白い 図解 確率の話

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